Евгений Серебряный
К.ф.-м.н. Теоретическая и математическая физика
Science
5 мин. на чтение

Экономика — теория игр, в которые играют люди (Часть III)

Экономика — теория игр, в которые играют люди (Часть III)
Поделиться материалом

Цена определяется самой вещью и одинакова для всех, а выгода зависит от личных обстоятельств

Даниил Бернулли

Часть I

Часть II

Часть IV

Часть V

Предположим, вы красавица-невеста и желаете выбрать лучшего жениха из большой группы претендентов. Алгоритм испытаний обычный — примерно, как в сказке. Ходите на свидание с каждым по очереди, но только один раз! И по результатам — либо «да», либо «нет». Как поступить наиболее рационально чтобы найти свое счастье? Нельзя же с первым попавшимся, но и засиживаться тоже не хочется.

Какова лучшая стратегия?

Рецепт дает теория игр

Во-первых, будем считать, что хотя вы красавица и капризны, но все-таки здравый смысл подсказывает, что в конце концов можно соглашаться и на «второго по качеству».

Математика рекомендует следующее:

Невеста должна пропустить приблизительно 34,7% претендентов, не давая согласия на брак, из следующих приблизительно 32% давать согласие на брак первому, кто лучше всех предыдущих, а из оставшихся претендентов соглашаться на второго по качеству среди уже прошедших. При этом вероятность удачного выбора приблизительно равна 0,574.

(С. М. Гусейн-Заде «Разборчивая невеста»)

Заметим, что неявно решение подразумевает, что невеста знает, чего хочет и в состоянии упорядочить женихов по качеству. Кроме того, рекомендация выглядит отчасти нелепо, — какая невеста станет высчитывать доли процентов?

Ясно, что на первой трети тренируемся, вторая треть — надо брать, а остальные — брать, что осталось. И это еще если не захлестнут эмоции в самом начале и сил на рациональность не хватит.

Женитьба математики и экономики

Попытки поженить строгую математику оптимального выбора с жизненными ситуациями, в том числе — в экономике, предпринимались еще в XIX в.

В новые времена отсчет ведется от монографии гениального математика Дж. фон Неймана, и экономиста Оскара Моргенштерна — «Теория игр и экономическое поведение» (1944). Центральный вопрос теории — поиск для каждого агента в группе конкурентов рациональной жизненной стратегии из набора возможных.

В своих мемуарах «Вы, конечно, шутите мистер Фейнман» автор пишет о Лос Аламосском проекте:

Еще там был Джон фон Нейман, великий математик. Мы обычно ходили на прогулки по воскресеньям… Фон Нейман подал мне интересную идею: вовсе не обязательно быть ответственным за тот мир, в котором живешь. В результате … я развил очень мощное чувство социальной безответственности.

Это сделало меня счастливым человеком с тех пор. Именно фон Нейман посеял зерна, которые выросли в мою активную позицию безответственности!

Игры разума нобелевского лауреата Нэша

Фундаментальный результат в поиске компромисса между конкурирующими альтернативами принадлежит легендарному Дж. Форбсу Нэшу (1928 – 2015), лауреату Нобелевской премии по экономике 1994 г. за «анализ равновесия в теории некооперативных игр».

В начале 50-х он опубликовал серию работ, в которых дал математически строгое и практически полезное определение равновесия как такого набора индивидуальных решений, что ни одному игроку не выгодно менять свою стратегию, независимо от действий остальных.

Нэш доказал, что при очень общих условиях, для смешанных стратегий такое равновесие всегда существует.

Простой пример см. в Huxleў. «Тюремный покер: наука или удача». С тех пор эта техника применяется не только в экономике, но и в эволюционной биологии, теории аукционов и иных игровых задачах. Об удивительной судьбе Нэша, гениального математика, победившего шизофрению, фильм Рона Ховарда «Игры разума».

Санкт-Петербургский парадокс

С чего все началось? В начале XVIII-го века теория вероятностей была модным направлением философской и математической мысли, а ее приложения были направлены на расчет как тогда говорили «справедливых» условий азартной игры.

Ученые спорили о так называемом Санкт-Петербургском парадоксе названном по месту работы академика (в 25 лет!) Даниила Бернулли из семьи наследственно талантливых швейцарских математиков. Парадокс рассмотрим на примере анализа следующей игры.

Банкомет подбрасывает монетку до тех пор, пока не выпадет орел. Если он выпал на (N+1)-ом шаге, игрок получает 2N монет из банка.  Вопрос: чему равна справедливая ставка игрока? Если орел выпадет на первом же шаге, то он получит лишь одну монету, а если решки продержатся до 10-го шага выигрыш составит 210 = 1024 монеты. 

Теория говорит, что для честной монеты вероятность получить орла на (N+1)-ом шаге равна (1/2)(N+1) . Следовательно, средний выигрыш за игру = 2N  * (1/2)(N+1) = 1/2 монеты — независимо от N! Выходит, даже ставка в одну монету — дорого.

С другой стороны, вероятностное предсказание не относится к какой-либо конкретной игре. По факту кто-то неудачник, а кому-то везет. Средняя по больнице температура не повод ни радоваться, ни огорчаться.

Поскольку монета честная, мы интуитивно понимаем, что не могут слишком долго подряд выпадать решки. Эксперимент на большом числе игр показывает, что в среднем, согласно закону больших чисел, орел выпадает на 1м или 2м подбрасывании.

Но банкомет тоже в игре. И если игрок справедливо сомневается в длинной череде решек, то банкомет ровно наоборот, боится, что случится большая флуктуация, значительное отклонение от среднего, и тогда он попросту разорится на законных основаниях.

Имеем рыночные отношения между двумя участниками, в которых они должны прийти к такому компромиссу, когда один захочет участвовать, а второй не обанкротится.

В те времена уже понимали роль среднего значения как характеристики процесса со случайными исходами. Однако, в этой задаче расчет среднего показывает, что оно стремится в бесконечность.

Парадокс в том, что статистика предсказывает в среднем как угодно высокий выигрыш, — то есть любая ставка окупится, и одновременно говорит о том, что игра окончится на первых же шагах, что означает реальный выигрыш в несколько монет.

Решение Даниила Бернулли: от математике к экономике

Первым свое решение задачи предложил математик Даниил Бернулли. Он переосмыслил проблему, сменив точку зрения с формально-математической на экономическую. Даниил считал, что личностная оценка справедливой ставки определяется не потенциальной суммой выигрыша, а некой ее «полезностью».

Относительно функции полезности, основываясь на психологических мотивах, он предположил, что, в отличие от выигрыша, который нарастает неограниченно, она должна достигать насыщения с ростом выигрыша — расти намного медленнее денежной премии.

Первый час путешествия воспринимается как увлекательное приключение, а в последний мы, зачастую, испытываем только усталость.

В качестве ориентировочного среднего надо рассчитывать не средний выигрыш, а среднюю полезность. Дискуссия сместилась в сторону того, какие «моральные мотивы» руководят рациональными игроками (если хотите — экономическими агентами) при принятии решений.

А исходя из списка таких мотивов строилась математическая модель полезности путем выбора полезности как функции суммы выигрыша. В зависимости от ее вида расчеты давали интуитивно приемлемую ставку от нескольких монет до десятка, что означает выпадение орла не позднее 3-4 бросания.

Исторически в работе Даниила Бернулли была сделана первая попытка найти общий принцип принятия рациональных решений в условиях неопределенности

Парадокс оказался очень плодотворным и к его анализу через века обращались многие выдающиеся экономисты. В том числе, на идеи Д. Бернулли опирались фон Нейман и О. Моргенштерн, которых считают основоположниками теории ожидаемой полезности.  

На начальном этапе теория предполагала, что агенты — субъекты экономических отношений — рациональны. Это, конечно, не очень реалистическая модель. Скажем, выбор блюд в ресторане выглядел бы следующим образом.

Человек экономический берет меню, полностью его вычитывает, ранжирует блюда по их «полезности», что может включать калорийность, вкусовые предпочтения, цену. Затем, анализируя упорядоченный список вычисляет оптимальный для себя состав блюд.

Ясно, что так можно и не пообедать. Во подобных задачах на помощь человеку реальному приходят эмоции, привычки, инстинкты и здравый смысл.

История с кобрами в Индии и детским садом в Израиле

Зачастую человек рационален, но своим, особым образом. Замечательный пример дает ставшая нарицательной история с кобрами в Индии. Английские колониальные власти решили избавиться от кобр экономическими методами и предложили вознаграждение за каждую убитую змею. В результате население стало кобр разводить и на этом зарабатывать. Когда власти отказались от неудачной затеи, кобр выпустили на свободу и в итоге их популяция только возросла.

Следующий пример из книги С. Левитта и С. Дабнера «Фрикономика». В детском саду г. Хайфы воспитатели были недовольны тем, что родители часто опаздывают и забирают детей слишком поздно. Руководство решило использовать экономический стимул — штрафовать за опоздания. Результатом стало то, что количество опозданий выросло, поскольку родители считали, что штраф — это оплата права приходить когда удобно!

Из анализа реалистических жизненных ситуаций, противоречащих модели «прямолинейной» рациональности, выросло новое направление — экономика поведения. Об этом далее.

Продолжение следует…

Поделиться материалом

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Получайте свежие статьи

Сообщить об опечатке

Текст, который будет отправлен нашим редакторам: