БОРИС БУРДА: как доказать Великую теорему Ферма
Пьер де Ферма (1601–1665) — французский юрист и математик-любитель. Известен разработками, приведшими к современному исчислению, и исследованиями в области теории чисел. Наибольшую известность ему принесла последняя теорема Ферма. Гравюра неизвестного автора, около 1650 года / eisatopon.blogspot.com
ВНИМАНИЕ — ВОПРОС!
В 1927 году великий математик Гильберт должен был читать лекцию в Лоренцевском институте. Вылетая туда, он предварительно телеграфировал тему своей лекции: «Доказательство Великой теоремы Ферма», но прочел совершенно другую лекцию. Почему он так поступил?
ВНИМАНИЕ — ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ!
Если бы самолет разбился, все были бы уверены, что он доказал теорему Ферма, а это огромная слава (впрочем, у Гильберта славы хватало, но, наверное, хотелось еще).
РАЗВЛЕЧЕНИЯ ПРЕУСПЕВАЮЩЕГО ЮРИСТА
Сразу предупреждаю: хотя рассказ будет касаться великой математической проблемы, математики в нем будет всего ничего — чуть больше, чем в курсе начальной школы. Дело в том, что эта проблема благодаря своей удивительной истории возникновения стала еще и популярным образом, знакомым даже не знающим математики.
Человек, породивший это понятие, был интересным примером по-настоящему удачливого дилетанта, который преуспел в своей профессии, но прославился благодаря хобби, которое не имело к его профессии никакого отношения. Это встречается чаще, чем многие думают: сурдопедагог Белл создал телефон, художник Морзе — свою азбуку, и таких случаев масса….
Сын зажиточного торговца Пьер Ферма получил прекрасное образование, знал несколько живых и древних языков, и даже писал на них стихи. Но он предпочел стать не филологом, а юристом. Свою первую должность королевского советника Ферма просто купил (так бывает и сейчас, но тогда это было законно) и быстро доказал, что достоин ее.
Он молниеносно продвигался по службе, вскоре стал членом Палаты эдиктов, а позже даже занял солидный пост высшего парламентского судьи. Но его юридические достижения не пережили того времени, а вот математические запомнились навсегда. Недаром слово «дилетант» переводится как «радующийся» — ясно, что его досуги были ему приятны.
МАТЕМАТИК-ОДИНОЧКА
Ферма никогда не посещал академии и институты — тогда их просто не было. Он не посылал сообщения о своих трудах в научные журналы — за полным отсутствием таковых. Как же они вообще до нас дошли? Кстати, к прочим математикам того времени этот вопрос тоже относится… Оказалось, что нам за это следует поблагодарить еще одного дилетанта.
Звали его Марен Мерсенн, он был монахом-францисканцем, преподавал, сам занимался наукой (числа Мерсенна и сейчас играют немалую роль в такой важной науке, как криптография), а помимо этого, каждый четверг собирал у себя математиков и физиков Парижа, чтобы они могли общаться — такая академия на дому.
Кроме того, он активно переписывался на латыни с большинством известных европейских ученых, информировал их о достижениях коллег — в общем, был научным журналом в те времена, когда никаких научных журналов не было. Практически все, что мы знаем о работах Ферма, содержится в его переписке с Мерсенном — таким же дилетантом, как он сам.
Впрочем, о его Великой теореме нам стало известно, когда после скоропостижной смерти самого Ферма (он умер на работе, прямо во время заседания суда) его сын Клеман-Самюэль опубликовал все, что осталось от отцовских трудов, вплоть до пометок на полях «Арифметики» Диофанта. Одной из таких пометок оказалась и Великая теорема Ферма…
Ее формулировка очень проста: «Если n — натуральное число и n>2, то уравнение an+bn=cn не имеет решений в целых числах a, b и c, отличных от нуля». Как Ферма это доказывал? На полях осталась только надпись: «Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него». Записал ли он его где-нибудь еще, и верно ли оно? Не узнаем никогда.
ПОИСКИ УТЕРЯННОГО РЕШЕНИЯ
Странной надписи не очень удивились — были и другие заметки Ферма на полях книг, вроде «я мог бы это доказать, но мне надо покормить кота». Правда, та запись не касалась утверждения такой сенсации. Записал ли доказательство сам Ферма? Через 100 лет после его смерти Эйлер просил в письме обыскать его дом — может быть, найдется? Не нашлось…
От отчаяния математики начали доказывать это по частям — для конкретных n. Сам Ферма оставил доказательство для n=4, Эйлер смог доказать его для n=3, Дирихле и Лежандр сделали это для n=5, Ламе — для n=7… Но ведь из пометки Ферма следовало, что он доказал это в самом общем виде! Неужели сделанное Ферма не удастся повторить?
Удавалось очень многим, да вот беда какая — во всех их доказательствах находили ошибки. Желающих оказалась уйма, многих крупных математиков уже стали откровенно раздражать энтузиасты, которые просили прорецензировать плоды их трудов, часто просто безграмотные. Для них даже придумали специальное прозвище — «ферматисты».
Чтобы хоть как-то от них обороняться, целый ряд научных учреждений (от Французской академии до журнала «Квант») просто объявили, что доказательства теоремы Ферма они не рассматривают — выбрасывают сразу, не читая. Но на количество этих энтузиастов такая политика практически не влияла.
Несколько крупных математиков (например, Эдмунд Ландау) даже заказали специальные бланки для ответа ферматистам. Вот их текст: «Уважаемый (пробел)! Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на странице (пробел) в строке (пробел)». Заполняли эти бланки его аспиранты.
СТАТУС НЕРАЗРЕШИМОЙ ПРОБЛЕМЫ
Немец Пауль Вольфскель, который передумал кончать с собой из-за несчастной любви потому, что увлекся очередной статьей о Великой теореме, учредил премию в 100 000 золотых марок за решение проблемы, которая его спасла. После инфляции в 1919 году она сильно уменьшилась, однако, будучи удачно инвестированной, не исчезла совсем. Но кому ее давать?
В знаменитом математическом справочнике Дональда Кнута, содержащем различные задачи, трудность которых оценивалась от 1 до 50 баллов, высший балл 50 был наградой за доказательство теоремы Ферма — авось кто-то поднатужится и решит. Лично я был очень удивлен, увидев ее там, — кто же ее осилит, она же неразрешима! Не я один так думал…
Оригинально использовал теорему Ферма астроном Карл Саган, к которому часто обращались всяческие контактеры с инопланетянами. Считая, что если они умеют путешествовать в космосе, то уж теорему Ферма точно доказали, Саган советовал контактерам спрашивать у инопланетян именно о ней. Ответы до него не дошли — кто знает, почему.
В тридцатые годы прошлого века была доказана теорема Геделя, согласно которой в математике должны существовать утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Могла бы и Великая теорема Ферма относиться к таким утверждениям? Лично я думал, что могла. Это помогало мне спокойнее относиться к тому, что с ней не могли справиться 300 лет…
И ВДРУГ…
В 1995 году я гостил у друга, достаточно крупного ученого. И как-то по ходу беседы он сказал, что недавно был на семинаре, где разбирали доказательство Великой теоремы Ферма, сделанное одним англичанином. Я спросил, нашли ли уже ошибку, на что он несколько неуверенно ответил, что ошибки вроде бы нет… Признаюсь, сначала я подумал, что это шутка.
Оказалось, совсем не шутка. Англичанин Эндрю Уайлс действительно ее доказал, и за 30 лет никто ошибки в его доказательствах не обнаружил. Доказательство занимало 129 страниц и базировалось на разделах математики, о которых Ферма представления не имел. Если Ферма ее и доказал, то как-то иначе — или ошибся, думая, что доказал, теперь поди доищись…
На Уайлса обрушился целый водопад почестей, от неслыханных до опереточных. Королева пожаловала его рыцарским званием, остатки премии Вольфскеля (не такие уж малые: около 30 000 фунтов) он получил по праву, не говоря о престижной Абелевской премии. О нем даже создали популярный мюзикл, где решающий шаг доказательства ему подсказывает супруга…
Еще одна великая теорема доказана, еще одна великая загадка разрешена. Даже в новом издании справочника Кнута решение этой задачи уценили: теперь за это предлагают не 50 баллов, а всего 45… Практическая польза от этого мне неясна, а жить стало скучнее — увлекательную тайну заменили 129 страниц непонятных формул… Раньше было лучше!
